<p>雖然計數(shù)是孩子們學習數(shù)學的第一個技能，但它也是該學科最高水平的研究內(nèi)容，盡管是以一種更令人興奮的方式。數(shù)學新教授Tony Yue Yu的研究涉及幾何空間中的曲線計數(shù)，這將他的工作置于枚舉幾何領域。枚舉幾何最早的例子之一是阿波羅尼烏斯問題，以古希臘數(shù)學家的名字命名。在這個問題中，計算平面上與三個給定圓相切的圓的數(shù)量(圖中黑色部分)。一般有八個這樣的切線圓;一個是粉色。</p> <p>&nbsp;</p> <p><img src="https://caltech-prod.s3.amazonaws.com/main/images/Problem_of_Apollonius.max-250x250.png" alt="The Problem of Apollonius -- diagram showing tangent circles" width="215" height="250" />&nbsp;</p> <p>這樣的問題不僅在直覺上很吸引人，而且在實際中也很重要，因為計算具有一定約束條件的幾何物體的數(shù)量與計算方程組解的數(shù)量是同一類型的問題。</p> <p>&nbsp;</p> <p>Yu正在通過所謂的非阿基米德幾何發(fā)展一種新的曲線計數(shù)理論。通常，當你取1和100這兩個數(shù)字，其中一個數(shù)字小于另一個數(shù)字時，你可以不斷地將較小的數(shù)字與自身相加，最終超過較大的數(shù)字(100)。這個概念源于古希臘數(shù)學家阿基米德的研究。</p> <p>&nbsp;</p> <p>然而，在非阿基米德幾何中，你可以不斷地將較小的數(shù)相加，但你永遠不會超過較大的數(shù)。Yu解釋說，這些&ldquo;奇異的、非直觀的&rdquo;數(shù)字是他工作的核心。</p> <p>&nbsp;</p> <p>于，在中國寧波長大，2010年在北京大學完成數(shù)學本科學業(yè)，之后在巴黎師范學院sup&eacute;rieure完成研究生學業(yè)。他曾是法國國家科學研究中心的永久研究員，直到2021年加入加州理工學院。</p> <p>&nbsp;</p> <p>我們通過Zoom采訪了Yu，了解更多關于他的研究，以及它與物理學家所熟悉的鏡像對稱概念之間的關系。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你什么時候開始對數(shù)學感興趣的?</p> <p><br />我從小就對數(shù)學和科學著迷。在寧波長大，那里有很多為孩子們舉辦的科學活動和競賽，我都很喜歡。我去了北京大學，主修數(shù)學，因為在高中時，我能夠閱讀大學教科書上的許多其他科學科目，但從數(shù)學教科書上看不太懂。我對現(xiàn)代數(shù)學非常好奇。</p> <p>&nbsp;</p> <p>然后我去了巴黎的Ecole normale sup&eacute;rieure讀研究生。巴黎是現(xiàn)代代數(shù)幾何的誕生地，由亞歷山大&middot;格羅騰迪克在20世紀60年代創(chuàng)立。人們喜歡說巴黎是時尚界的中心，但它也是許多領域的數(shù)學研究中心。一到巴黎，周圍都是數(shù)學家，我自然就想從事數(shù)學研究。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你能告訴我們更多關于非阿基米德幾何的知識嗎?</p> <p><br />阿基米德性質表明，給定任意兩個正數(shù)A &lt; B，如果我們將A與自身相加足夠多次，A+?+A最終會超過B。</p> <p>&nbsp;</p> <p><img src="https://caltech-prod.s3.amazonaws.com/main/images/Archemedian_Property.max-500x500.png" alt="Illustration of the Archimedean property" width="313" height="230" />&nbsp;</p> <p>你會說這是顯而易見的，因為這就是長度在我們?nèi)粘Ｉ钪械谋憩F(xiàn)。然而，在現(xiàn)代數(shù)學中，人們對研究阿基米德性質失效的量和幾何空間有極大的興趣。我們稱它們?yōu)榉前⒒椎聰?shù)和非阿基米德空間。在這個領域中，數(shù)字不落在數(shù)軸上，也不代表任何距離的概念。他們是外來的，不符合我們的直覺。</p> <p>&nbsp;</p> <p>非阿基米德幾何是代數(shù)幾何的一個分支，我們研究在非阿基米德數(shù)上定義的幾何形狀。由于我們不是生活在一個非阿基米德世界，研究非阿基米德空間是困難的，許多研究數(shù)學家認為這是一個困難和抽象的領域。</p> <p>&nbsp;</p> <p>我在巴黎讀研究生時就對這個領域產(chǎn)生了興趣。一天，我問我的導師什么是非阿基米德空間。他回答說，這是一個非常&ldquo;毛茸茸&rdquo;的空間。我曾經(jīng)認為數(shù)學對象是嚴肅而莊嚴的，我無法相信一個幾何空間可以像動物一樣毛茸茸的!后來我對這個課題非常著迷。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你能告訴我們更多關于枚舉幾何的知識嗎?</p> <p><br />枚舉幾何是關于幾何物體的計數(shù)，例如阿波羅尼烏斯的問題，其中一個人在一個平面上數(shù)圓。雖然計算和計算精確的數(shù)字很有趣也很重要，但這個領域的興奮點在于發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字背后更深層次的結構關系。最神秘的關系之一是所謂的鏡像對稱，這是一種形狀的對偶性，最初是由研究弦理論的理論物理學家發(fā)現(xiàn)的，弦理論是一種旨在描述自然界基本粒子和力的數(shù)學理論。</p> <p>&nbsp;</p> <p>不管弦理論能否被實驗證明，它對數(shù)學研究產(chǎn)生了巨大的影響。在鏡像對稱中，一個空間中曲線的數(shù)量可以與鏡像空間上微分方程的解有關。這一現(xiàn)象的全面程度，以及其潛在的數(shù)學機制，在很大程度上仍然未知。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你在研究什么問題?</p> <p><br />我使用非阿基米德方法開始了枚舉幾何的研究，特別是以解決鏡像對稱領域的猜想為目標。事實上，非阿基米德空間通過空間退化的過程自然地出現(xiàn)在鏡像對稱的研究中。人們可以把退化想象成把一個復雜的大空間撞成更小、更簡單的碎片。退化的參數(shù)變成一個非阿基米德數(shù)，退化過程產(chǎn)生一個非阿基米德空間。然而，大多數(shù)研究人員并不熱衷于將非阿基米德方法應用于曲線計數(shù)問題，因為非阿基米德幾何被認為是陌生的和困難的。在過去的幾年里，我的研究一直在探索這個方向，結果證明這是一次有益的經(jīng)歷。</p> <p>&nbsp;</p> <p><img src="https://caltech-prod.s3.amazonaws.com/main/images/Non-Archemidian_Curves_in_Mirro_Symmetry.max-250x250.jpg" alt="Diagram showing non-Archimedean curves in mirror symmetry" width="250" height="214" />&nbsp;</p> <p>我的目標是進一步發(fā)展這種非阿基米德方法，并希望對鏡像對稱的數(shù)學基礎做出新的貢獻。將這項工作與其他研究人員所研究的方法進行比較也很重要。雖然鏡像對稱徹底改變了枚舉幾何領域，我也期待著探索鏡像對稱在代數(shù)幾何更廣泛領域的應用，如模理論和雙幾何。兩者都涉及空間的分類，分類一直是數(shù)學不同領域的中心主題。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你還有什么要補充的嗎?</p> <p><br />數(shù)學除了是科學技術不可或缺的工具外，也是一門藝術。有時你聽到一段音樂，你喜歡它。數(shù)學有很多驚喜，但需要多年的訓練才能完全理解。</p> <p>&nbsp;</p> <blockquote> <p>注：本文由院校官方新聞直譯，僅供參考，不代表指南者留學態(tài)度觀點。</p> </blockquote>